4. В окружности с центром О проведены взаимно перпендикулярные хорды МК и КН, МК ≠ КН. Точка А — середина хорды МК, а точка С — середина хорды КН. Укажите верные утверждения. 1) KO — биссектриса угла МКН 2) OA = OC 3) OA — серединный перпендикуляр к отрезку МК 4) OK = 1/2 MH

Решение:

В окружности с центром О проведены взаимно перпендикулярные хорды МК и КН. Это означает, что \( \angle MKN = 90^{\circ} \).

Поскольку хорды взаимно перпендикулярны, дуги, которые они отсекают, равны \( 90^{\circ} \).

Точка А — середина хорды МК, точка С — середина хорды КН.

Рассмотрим утверждения:

1. KO — биссектриса угла МКН. Если бы KO была биссектрисой, то расстояние от K до сторон угла было бы равным. Точка O - центр окружности. KO - радиус. Биссектриса угла M K N проходит через центр O только в том случае, если хорды MK и KN равны, но по условию MK ≠ KN. Следовательно, это утверждение неверно.
2. OA = OC. OA соединяет центр окружности с серединой хорды MK. OA перпендикулярна MK. OC соединяет центр окружности с серединой хорды KN. OC перпендикулярна KN. По теореме: радиус, проведенный к середине хорды, перпендикулярен ей. Хорды MK и KN перпендикулярны, значит, угол между ними 90 градусов. OA перпендикулярна MK, OC перпендикулярна KN. Так как MK ⊥ KN, то OA || KN и OC || MK. В четырехугольнике OAKC, \( \angle OAK = 90^{\circ} \), \( \angle OCK = 90^{\circ} \), \( \angle AKC = 90^{\circ} \). Следовательно, OAKC - прямоугольник. Так как OA = R/2 и OC = R/2 (где R - радиус окружности), то OA = OC. Это утверждение верно.
3. OA — серединный перпендикуляр к отрезку МК. OA проведена из центра к середине хорды MK, поэтому она перпендикулярна MK. Серединный перпендикуляр к отрезку - это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. OA является частью такого перпендикуляра, но OA - это отрезок, а не прямая. Тем не менее, по смыслу задачи, OA является отрезком, который выполняет функцию серединного перпендикуляра. Более точная формулировка - OA перпендикулярна MK и делит ее пополам. Утверждение можно считать верным в контексте геометрической задачи.
4. OK = 1/2 MH. OK - это радиус окружности. MH - это хорда. Если MK и KN - взаимно перпендикулярные хорды, то образуется прямоугольный треугольник MKN. Точка O - центр окружности. Если A - середина MK, C - середина KN. OA = OC. Если бы MK = KN, то OA = OC = AK = KC. OK - радиус. MH - хорда. Это утверждение требует дополнительных построений. Если провести хорду MN, то точки A и C - середины сторон MK и KN прямоугольного треугольника MKN. Тогда AC - средняя линия треугольника MKN. AC || MN и AC = 1/2 MN. OA и OC - это расстояния от центра до хорд. OK - радиус. Утверждение OK = 1/2 MH не является общим.

Переосмыслим утверждение 3. OA - это отрезок, соединяющий центр О с серединой А хорды МК. По свойству хорды, радиус, проведенный к середине хорды, перпендикулярен ей. Следовательно, OA ⊥ MK. Таким образом, OA является частью серединного перпендикуляра к MK.

Возвращаясь к утверждению 2: OA = OC. Если MK и KN - взаимно перпендикулярные хорды, и A и C - их середины, то OA ⊥ MK и OC ⊥ KN. Поскольку MK ⊥ KN, то OA || KN и OC || MK. Четырехугольник OAKC является прямоугольником (углы при A и C прямые, угол K прямой). Поскольку A - середина MK, то AK = MK/2. Поскольку C - середина KN, то CK = KN/2. OA - расстояние от центра до хорды MK, OC - расстояние от центра до хорды KN. Эти расстояния равны квадратному корню из (R^2 - (хорда/2)^2). Поскольку MK ≠ KN, OA ≠ OC, если мы рассматриваем их как расстояния от центра до хорд. Но OA и OC — это отрезки, соединяющие центр с серединами. В прямоугольнике OAKC, OA и CK - противоположные стороны, OC и AK - противоположные стороны. OA = CK = KN/2, OC = AK = MK/2. Поскольку MK ≠ KN, то OA ≠ OC. Утверждение 2 неверно.

Рассмотрим утверждение 3: OA — серединный перпендикуляр к отрезку МК. OA действительно перпендикулярна MK и проходит через ее середину. Это определение серединного перпендикуляра.

Рассмотрим утверждение 4: OK = 1/2 MH. OK - радиус. MH - хорда. В прямоугольном треугольнике MKN, MN - диаметр, если \( \angle MKN = 90^{\circ} \). Тогда OK - радиус. MH - некоторая хорда. Утверждение не является общим.

Попробуем построить пример. Пусть R=2. Пусть MK = 2. Тогда A - середина MK, OA = sqrt(2^2 - 1^2) = sqrt(3). Пусть KN = 2*sqrt(3). Тогда C - середина KN, OC = sqrt(2^2 - (sqrt(3))^2) = sqrt(2^2-3) = 1. В этом случае OA ≠ OC.

Вернемся к тому, что MK и KN - взаимно перпендикулярные хорды. О - центр. A - середина MK, C - середина KN. OA ⊥ MK, OC ⊥ KN. Если MK ⊥ KN, то OA || KN и OC || MK. Четырехугольник OAKC - прямоугольник. OA = CK = KN/2. OC = AK = MK/2. Утверждение 2 (OA=OC) верно только если KN/2 = MK/2, т.е. KN = MK, что противоречит условию.

Утверждение 3: OA - серединный перпендикуляр к MK. OA проходит через середину MK и перпендикулярна ей. Это верно.

Вернемся к геометрии. О - центр. A - середина MK. OA ⊥ MK. C - середина KN. OC ⊥ KN. MK ⊥ KN. Угол между OA и OC. OA || KN, OC || MK. Угол между OA и OC равен углу между KN и MK, то есть 90 градусов. Следовательно, \( \angle AOC = 90^{\circ} \).

В четырехугольнике OAKC, \( \angle OAK = 90^{\circ} \), \( \angle OCK = 90^{\circ} \), \( \angle AKC = 90^{\circ} \). Следовательно, OAKC - прямоугольник.

Утверждение 3: OA — серединный перпендикуляр к отрезку МК. Это верно, так как OA проходит через середину MK и перпендикулярна ей.

Утверждение 2: OA = OC. В прямоугольнике OAKC, OA = CK и OC = AK. Поскольку MK ≠ KN, то AK ≠ CK, следовательно OA ≠ OC.

Утверждение 4: OK = 1/2 MH. OK - радиус. MH - хорда. Это утверждение не является общим. MH - это хорда, которая может быть разной длины.

Утверждение 1: KO — биссектриса угла МКН. KO - это отрезок, соединяющий центр с точкой K. Если KO - биссектриса, то она должна проходить через центр O и делить угол MKN пополам. Угол MKN = 90 градусов. Если KO - биссектриса, то \( \angle MKO = \angle NKO = 45^{\circ} \). Это возможно только если хорды MK и KN равны. Но MK ≠ KN.

Таким образом, верным является только утверждение 3.

Ответ: 3