4. В окружности с центром в точке О проведены диаметры BD и АС. Параллельны ли прямые AD и ВС?

Решение:

Дано: Окружность с центром \( O \). Диаметры \( BD \) и \( AC \).

Доказать: \( AD Ⅰ BC \).

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOD \) и \( \triangle BOC \).

1. \( AO = OC \) (так как \( AC \) — диаметр, \( O \) — центр окружности).

2. \( DO = OB \) (так как \( BD \) — диаметр, \( O \) — центр окружности).

3. \( \angle AOD = \angle BOC \) (как вертикальные углы).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle AOD = \triangle BOC \).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: \( \angle DAO = \angle BCO \).

Эти углы являются накрест лежащими при прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AC \).

Так как накрест лежащие углы равны, то прямые \( AD \) и \( BC \) параллельны.

Ответ: Да, прямые AD и BC параллельны.