4. В окружности с центром в точке О провели диаметр АВ и хорду ВС так, что угол АВС равен 32°. Найдите градусную меру угла АОС.

Дано:

• Окружность с центром О.
• AB — диаметр.
• BC — хорда.
• \(\angle ABC = 32^\circ\).

Найти:

• \(\angle AOC\).

Решение:

1. Треугольник ABC: Так как AB — диаметр, то угол, опирающийся на диаметр, является прямым. \(\angle ACB = 90^\circ\).
2. Сумма углов в треугольнике: В \(\triangle ABC\) сумма углов равна \(180^\circ\): \(\angle BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180^\circ\).
3. \(\angle BAC + 32^\circ + 90^\circ = 180^\circ\).
4. \(\angle BAC + 122^\circ = 180^\circ\).
5. \(\angle BAC = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ\).
6. Центральный и вписанный углы: Угол \(\angle AOC\) — центральный угол, который опирается на дугу AC. Угол \(\angle ABC\) — вписанный угол, который опирается на ту же дугу AC.
7. Связь между центральным и вписанным углами: Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, в два раза больше этого вписанного угла.
8. \(\angle AOC = 2 imes ∠ ABC\°\°\°\°\°\°\°\°\).
9. \(\angle AOC = 2 imes 32^\circ = 64^\circ\).

Ответ: 64