4. В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб, острый угол А которого равен 60°. Боковое ребро призмы равно стороне ромба. Найдите косинус двугранного угла А₁(B₁D)C₁.

Анализ задачи:

Это задача по стереометрии, связанная с прямой призмой. Нам нужно найти косинус двугранного угла между плоскостями A₁B₁C₁ и B₁DC₁.

Дано:

• Призма ABCDA₁B₁C₁D₁.
• Основание - ромб ABCD.
• Угол A = 60°.
• Боковое ребро (AA₁, BB₁, CC₁, DD₁) равно стороне ромба (AB).

Найти:

Косинус двугранного угла между плоскостями A₁B₁C₁ и B₁DC₁.

Решение:

Двугранный угол между двумя плоскостями - это угол между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях, которые перпендикулярны общей линии пересечения этих плоскостей.

1. Линия пересечения плоскостей: Плоскости A₁B₁C₁ и B₁DC₁ пересекаются по линии B₁C₁.

2. Построение для двугранного угла:

• В плоскости A₁B₁C₁ проведем прямую, перпендикулярную B₁C₁.
• В плоскости B₁DC₁ проведем прямую, перпендикулярную B₁C₁.
• Угол между этими прямыми и будет искомым двугранным углом.

Свойства ромба:

• Все стороны равны.
• Противоположные углы равны.
• Диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

Так как угол A = 60°, то треугольник ABD является равносторонним (AB = AD, угол A = 60°). Диагональ BD = AB.

Диагональ AC = 2 * (AB * cos(30°)) = 2 * AB * √3/2 = AB * √3.

Рассмотрим призму:

• Основание ABCD - ромб с углом 60°.
• Боковое ребро AA₁ = AB.

Построение перпендикуляров к B₁C₁:

• В плоскости A₁B₁C₁: так как ABCD - ромб, то A₁B₁C₁D₁ - параллелограмм. B₁C₁ параллельна A₁D₁.
• В плоскости B₁DC₁:

Упрощение задачи:

Двугранный угол между гранями призмы, основанием которых являются ромбы, может быть вычислен через высоту призмы и одну из диагоналей основания. Однако, здесь нас просят найти угол между гранями A₁B₁C₁ и B₁DC₁.

Вспомогательный подход:

Можно ввести систему координат.

Пусть вершина B₁ = (0, 0, h), где h - высота призмы (h = AB).

Сторона ромба равна a. Тогда h = a.

Координаты вершин в основании ABCD:

• B = (0, 0, 0)
• A = (a * cos(60°), a * sin(60°), 0) = (a/2, a√3/2, 0)
• D = (a * cos(-60°), a * sin(-60°), 0) = (a/2, -a√3/2, 0)
• C = (a, 0, 0)

Координаты вершин в верхнем основании A₁B₁C₁D₁:

• B₁ = (0, 0, a)
• A₁ = (a/2, a√3/2, a)
• D₁ = (a/2, -a√3/2, a)
• C₁ = (a, 0, a)

Плоскость A₁B₁C₁ проходит через точки B₁=(0,0,a), A₁=(a/2, a√3/2, a), C₁=(a, 0, a). Эта плоскость параллельна плоскости XY (z=a). Вектор нормали: (0, 0, 1).

Плоскость B₁DC₁ проходит через точки B₁=(0,0,a), D=(a/2, -a√3/2, 0), C₁=(a, 0, a).

Найдем векторы, лежащие в плоскости B₁DC₁:

• →B₁D = (a/2, -a√3/2, -a)
• →B₁C₁ = (a, 0, 0)

Найдем вектор нормали к плоскости B₁DC₁ (произведение векторов →B₁D и →B₁C₁):

→n = →B₁D × →B₁C₁ = | i j k | | a/2 -a√3/2 -a | | a 0 0 |

→n = i(0 - 0) - j(0 - (-a*a)) + k(0 - (-a·a√3/2)) = -j(a²) + k(a²√3/2) = (0, -a², a²√3/2).

Нормальный вектор к плоскости B₁DC₁: (0, -1, √3/2).

Нормальный вектор к плоскости A₁B₁C₁: (0, 0, 1).

Косинус угла между двумя плоскостями равен косинусу угла между их нормальными векторами:

θ = arccos( | →n₁ ∙ →n₂ | / ( ||→n₁|| ∙ ||→n₂|| ) )

→n₁ = (0, 0, 1)

→n₂ = (0, -1, √3/2)

→n₁ ∙ →n₂ = (0 * 0) + (0 * -1) + (1 * √3/2) = √3/2

||→n₁|| = √(0² + 0² + 1²) = 1

||→n₂|| = √(0² + (-1)² + (√3/2)²) = √(1 + 3/4) = √(7/4) = √7/2

cos(θ) = (√3/2) / (1 * √7/2) = (√3/2) / (√7/2) = √3 / √7 = √(3/7)

Ответ:

cos(угла) = √(3/7)