4. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 111°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому CD = AB. По условию AC = 2AB, следовательно, AC = 2CD.

Рассмотрим треугольник ACD. По теореме синусов:

sin ∠CAD / CD = sin 111° / AC, откуда sin ∠CAD = sin 111° / 2 = sin 69° / 2.

Значит, ∠CAD ≈ 21.8°. Тогда ∠ADC = 180° − 111° − 21.8° ≈ 47.2°.

Угол между диагоналями равен меньшему углу между AC и BD. В треугольнике ACD диагональ BD параллельна стороне AB, а из параллельности сторон параллелограмма угол между AC и AB равен 180° − ∠ACD − ∠CAD ≈ 47.2°? Для прямого определения рассмотрим координатные направления: ∠(AC, CD) = 111°, а вектор AB параллелен CD; с учетом направления луча AB получаем меньший угол между прямыми AC и AB равным 69°. Следовательно, угол между диагоналями составляет 69°.

Ответ: 69°.