4) В параллелограмме диагонали равны. Докажите, что это прямоугольник.

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), у которого диагонали равны: \(AC=BD\).

1. В треугольниках \(\triangle ABC\) и \(\triangle BAD\): \(AB\) — общая сторона, \(BC=AD\) как противоположные стороны параллелограмма, \(AC=BD\) по условию.
2. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.
3. Значит, \(\angle ABC=\angle BAD\).
4. Эти углы являются односторонними при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\), поэтому их сумма равна \(180^\circ\). Так как они равны, каждый из них равен \(90^\circ\).

Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.