4) В параллелограмме диагонали равны. Докажите, что этот параллелограмм — прямоугольник.

Пусть ABCD — параллелограмм, причём его диагонали равны: \(AC = BD\). Рассмотрим треугольники ABC и BAD. У них \(AB\) — общая сторона, \(BC = AD\) как противоположные стороны параллелограмма, и \(AC = BD\) по условию.

Значит, треугольники равны по трём сторонам, поэтому \(\angle ABC = \angle BAD\). Соседние углы параллелограмма в сумме составляют \(180°\), следовательно, эти равные углы равны по \(90°\). Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.