4. В параллелограмме EDNM диагональ MD в 2 раза больше стороны EM, ∠MDN = 98°. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма.

Обозначим через O точку пересечения диагоналей. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(DO=\frac{MD}{2}=EM\). Также \(EM=DN\), следовательно, \(DO=DN\).

Треугольник DON равнобедренный. Так как \(\angle ODN=\angle MDN=98^\circ\), его углы при основании равны \((180^\circ-98^\circ)/2=41^\circ\).

Угол между диагоналями — смежный с углом DON, поэтому острый угол равен \(180^\circ-2\cdot41^\circ=98^\circ\)? Исправим: угол DON — это угол при вершине O, а равные углы при D и N равны 41°, следовательно, \(\angle DON=180^\circ-82^\circ=98^\circ\). Смежный с ним угол между диагоналями равен \(82^\circ\).

Ответ: \(82^\circ\).