4. В параллелограмме КМNP проведена биссектриса угла МКР, которая пересекает сторону MN в точке Е. Найдите сторону КР, если МЕ = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

Решение:

В параллелограмме КMNP биссектриса KE угла MKP пересекает сторону MN в точке E. Так как KE — биссектриса, то \( \angle MKE = \angle EKP \).

Поскольку MN || KP (противоположные стороны параллелограмма), то \( \angle EKP = \angle KEM \) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых MN и KP секущей KE.

Таким образом, \( \angle MKE = \angle KEM \). Это означает, что треугольник MKE равнобедренный с основанием KE. Следовательно, \( MK = ME \).

Нам дано, что \( ME = 10 \) см, значит, \( MK = 10 \) см.

Периметр параллелограмма равен \( 2(MK + KP) \). Нам дано, что периметр равен \( 52 \) см.

Составим уравнение:

\[ 2(MK + KP) = 52 \]

\[ 2(10 + KP) = 52 \]

\[ 10 + KP = \frac{52}{2} \]

\[ 10 + KP = 26 \]

\[ KP = 26 - 10 \]

\[ KP = 16 \] см.

Ответ: 16 см.