4 В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 4,1, а сторона основания равна 4. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

В правильной шестиугольной пирамиде апофема (высота боковой грани), высота пирамиды и радиус вписанной окружности основания образуют прямоугольный треугольник. Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен \( r = a \frac{\sqrt{3}}{2} \), где \( a \) — сторона основания.

Дано:

• Боковое ребро \( l = 4,1 \)
• Сторона основания \( a = 4 \)

Найдём радиус вписанной окружности основания:

\[ r = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), радиусом вписанной окружности \( r \) и боковым ребром \( l \). По теореме Пифагора:

\[ h^2 + r^2 = l^2 \]\[ h^2 + (2\sqrt{3})^2 = (4,1)^2 \]\[ h^2 + 12 = 16,81 \]\[ h^2 = 16,81 - 12 \]\[ h^2 = 4,81 \]\[ h = \sqrt{4,81} = 2,1 \]

Ответ: 2,1.