4. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны между собой. Используя векторы, найдите: а) угол между прямыми AB и CB₁; б) угол между прямой CA₁ и плоскостью (AB₁C).

Обозначим длину каждого ребра через a. Введём координаты: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a/2; √3a/2; 0), B₁(a; 0; a), A₁(0; 0; a). Основание — равносторонний треугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основанию и равны a.

а) Направляющие векторы прямых можно взять такими: \(\overrightarrow{AB}=(a,0,0)\), \(\overrightarrow{CB_1}=(a/2,-\sqrt{3}a/2,a)\).

По формуле угла между прямыми:

\(\cos\varphi=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB_1}|}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{CB_1}|}=\dfrac{a^2/2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.\)

Следовательно, \(\varphi=\arccos\!\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)\approx69.3^\circ\).

б) Направляющий вектор прямой \(CA_1\): \(\overrightarrow{CA_1}=(-a/2,-\sqrt{3}a/2,a)\). Векторы плоскости \((AB_1C)\): \(\overrightarrow{AB_1}=(a,0,a)\) и \(\overrightarrow{AC}=(a/2,\sqrt{3}a/2,0)\). Их векторное произведение — нормаль к плоскости, пропорциональная \((-\sqrt{3},1,\sqrt{3})\).

Скалярное произведение направляющего вектора прямой на нормаль равно нулю: \((-a/2)(-\sqrt{3})+(-\sqrt{3}a/2)\cdot1+a\sqrt{3}=0\). Значит, прямая параллельна плоскости. Поскольку точка C принадлежит и прямой, и плоскости, прямая лежит в плоскости; угол между ними равен 0°.

Ответ: а) \(\arccos\!\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)\approx69.3^\circ\); б) 0°.