4. В прямоугольном параллелепипеде АBCDA1B1C1D1 известно, что AB = 9, BC = 6, AA₁ = 5. Найдите длину диагонали параллелепипеда и вычислите угол между диагональю и плоскостью основания

Решение:

1. Найдём длину диагонали параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда \( d \) вычисляется по формуле: \( d = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2} \), где \( l, w, h \) — длина, ширина и высота параллелепипеда.

В нашем случае: \( l = AB = 9 \), \( w = BC = 6 \), \( h = AA_1 = 5 \).

Подставляем значения: \( d = \sqrt{9^2 + 6^2 + 5^2} = \sqrt{81 + 36 + 25} = \sqrt{142} \) см.

2. Вычислим угол между диагональю и плоскостью основания.

Диагональ параллелепипеда, например \( AC_1 \), образует с плоскостью основания \( ABCD \) прямоугольный треугольник \( ACC_1 \), где \( AC \) — диагональ основания, \( CC_1 \) — высота, а \( AC_1 \) — диагональ параллелепипеда.

Сначала найдём длину диагонали основания \( AC \) по теореме Пифагора: \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} \) см.

Угол между диагональю \( AC_1 \) и плоскостью основания \( ABCD \) — это угол \( \angle C_1AC \).

В прямоугольном треугольнике \( ACC_1 \):

\( \tan(\angle C_1AC) = \frac{CC_1}{AC} = \frac{5}{\sqrt{117}} \).

\( \angle C_1AC = \arctan(\frac{5}{\sqrt{117}}) \).

Численное значение угла:

\( \sqrt{117} \approx 10.817 \).

\( \frac{5}{10.817} \approx 0.4622 \).

\( \angle C_1AC \approx \arctan(0.4622) \approx 24.84^{\circ} \).

Ответ: Длина диагонали параллелепипеда равна \( \sqrt{142} \) см. Угол между диагональю и плоскостью основания равен \( \arctan(\frac{5}{\sqrt{117}}) \) (приблизительно \( 24.84^{\circ} \)).