4. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, биссектриса BM в 2 раза больше расстояния от точки M до прямой AB. Катет BC = 17 см. Найдите гипотенузу AB.

Пусть $$MK$$ — перпендикуляр, опущенный из точки $$M$$ на гипотенузу $$AB$$. По условию, $$BM = 2MK$$.

Так как $$BM$$ — биссектриса угла $$B$$, то по свойству биссектрисы:

$$\frac{AB}{BC} = \frac{AM}{MC}$$

Также, по свойству биссектрисы, расстояние от точки $$M$$ на биссектрисе до сторон угла равны. То есть, $$MK = MH$$, где $$MH$$ — перпендикуляр из $$M$$ на $$BC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BMK$$. Угол $$MBK$$ равен половине угла $$B$$, т.е. $$\frac{B}{2}$$.

В прямоугольном треугольнике $$BMK$$ имеем:

$$MK = BM \times \sin(\frac{B}{2})$$

По условию, $$BM = 2MK$$. Подставим это в уравнение:

$$MK = 2MK \times \sin(\frac{B}{2})$$

$$1 = 2 \times \sin(\frac{B}{2})$$

$$\sin(\frac{B}{2}) = \frac{1}{2}$$

Следовательно, $$\frac{B}{2} = 30°$$, и угол $$B = 60°$$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$. Угол $$C = 90°$$, угол $$B = 60°$$. Тогда угол $$A = 180° - 90° - 60° = 30°$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ мы знаем катет $$BC = 17$$ см, который лежит напротив угла $$A = 30°$$.

По свойству катета, лежащего напротив угла в 30°, гипотенуза $$AB$$ в два раза больше катета $$BC$$.

$$AB = 2 \times BC$$

$$AB = 2 \times 17$$ см

$$AB = 34$$ см

Ответ: 34 см.