4. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 20, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 3√39. Найдите sin ∠ABC.

Обозначим второй катет через \(BC=y\), а гипотенузу через \(AB=c\). По теореме Пифагора \(c^2=400+y^2\).

Площадь треугольника можно выразить через катеты и через гипотенузу с высотой к ней: \(\dfrac{20y}{2}=\dfrac{c\cdot 3\sqrt{39}}{2}\). Следовательно, \(20y=3\sqrt{39}\,c\).

Возведём равенство в квадрат и подставим \(c^2=400+y^2\): \(400y^2=351(400+y^2)\). Тогда \(49y^2=140400\), откуда \(y^2=\dfrac{140400}{49}\).

Поэтому \(c^2=400+\dfrac{140400}{49}=\dfrac{160000}{49}\), значит, \(AB=\dfrac{400}{7}\).

Синус угла B — отношение противолежащего катета AC к гипотенузе AB: \(\sin\angle ABC=\dfrac{20}{400/7}=\dfrac{7}{20}\).

Ответ: \(\dfrac{7}{20}\).