4. В прямоугольном треугольнике АВС (∠C = 90°) провели высоту СМ. Найдите угол АВС, если АС = 4 см, АМ = 2 см.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \), проведена высота CM. Дано: \( AC = 4 \) см, \( AM = 2 \) см. Нужно найти \( \angle ABC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. По теореме Пифагора:

\( AC^2 = AM^2 + MC^2 \)

\( 4^2 = 2^2 + MC^2 \)

\( 16 = 4 + MC^2 \)

\( MC^2 = 16 - 4 \)

\( MC^2 = 12 \)

\( MC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В нём мы знаем катет AC и можем найти отношение катета MC к катету AC (или наоборот), чтобы определить угол.

В прямоугольном треугольнике AMC, синус угла \( \angle CAM \) равен:

\( \sin(\angle CAM) = \frac{MC}{AC} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Отсюда следует, что \( \angle CAM = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle BAC = \angle CAM = 60^{\circ} \).

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому:

\( \angle ABC + \angle BAC = 90^{\circ} \)

\( \angle ABC = 90^{\circ} - \angle BAC \)

\( \angle ABC = 90^{\circ} - 60^{\circ} \)

\( \angle ABC = 30^{\circ} \).

Ответ: \( 30^{\circ} \).