4.В прямоугольном треугольнике АВС (С = 90°) биссектрисы CD и АЕ пересекаются в точке О. Величина угла АОС равна 115°. Найти меньший острый угол треугольника АВС.

Дано:

• △ABC - прямоугольный, ∠C = 90°.
• CD - биссектриса ∠C.
• AE - биссектриса ∠A.
• CD ∩ AE = O.
• ∠AOC = 115°.

Найти:

• Меньший острый угол △ABC.

Решение:

1. Свойства биссектрис:
• CD делит ∠C (90°) пополам, значит ∠OCD = ∠ACD = 90° / 2 = 45°.
• AE делит ∠A пополам, значит ∠OAE = ∠CAE = ∠A / 2.
• Аналогично, CD делит ∠C пополам, значит ∠OCD = 45°.
2. Рассмотрим △AOC: Сумма углов в △AOC равна 180°.
• ∠OAC + ∠OCA + ∠AOC = 180°.
• ∠OAC = ∠A / 2.
• ∠OCA = 45°.
• ∠AOC = 115°.
• Подставляем известные значения: (∠A / 2) + 45° + 115° = 180°.
• (∠A / 2) + 160° = 180°.
• ∠A / 2 = 180° - 160°.
• ∠A / 2 = 20°.
• ∠A = 20° * 2 = 40°.
3. Находим второй острый угол:
• ∠B = 90° - ∠A.
• ∠B = 90° - 40° = 50°.
4. Определяем меньший острый угол:
• Углы △ABC равны 40° и 50°.
• Меньший острый угол равен 40°.

Ответ: 40°.