4. В прямоугольном треугольнике АВС (С = 90°) провели высоту СМ. Найдите угол АВС, если АС=2 см, АМ = 1 см.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ - прямоугольный} \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ CM \text{ - высота} \]
• \[ AC = 2 \text{ см} \]
• \[ AM = 1 \text{ см} \]

Найти:

• \[ \angle ABC \text{ ?} \]

Решение:

• В прямоугольном треугольнике ABC, высота CM, проведенная к гипотенузе, обладает свойством: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
• Таким образом, для катета AC имеем:
• \[ AC^2 = AM \cdot AB \]
• Подставим известные значения:
• \[ 2^2 = 1 \cdot AB \]
• \[ 4 = AB \]
• Значит, длина гипотенузы AB равна 4 см.
• Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Мы знаем длины катета AC и гипотенузы AB.
• Мы можем найти угол ABC, используя синус угла:
• \[ \sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} \]
• Подставим известные значения:
• \[ \sin(\angle ABC) = \frac{2}{4} \]
• \[ \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \]
• Угол, синус которого равен 1/2, равен 30°.
• \[ \angle ABC = 30^{\circ} \]

Ответ: 30°