4. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла В, если DA= 4, а АС = 8. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ. (16)

Решение:

В прямоугольном треугольнике ADC (угол D = 90°) синус угла A равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе AD. Однако, в условии дана высота CD, а не гипотенуза AD. Рассмотрим треугольник ADC. В нем угол C = 90°. По теореме Пифагора найдем CD: \( AC^2 = AD^2 + CD^2 \) (это неверно, т.к. угол D = 90°, а не C). Правильно: В прямоугольном треугольнике ADC (угол D = 90°), гипотенуза - AC. \( AC^2 = AD^2 + CD^2 \).

1. В прямоугольном треугольнике ADC: \( AC^2 = AD^2 + CD^2 \). Подставим известные значения: \( 8^2 = 4^2 + CD^2 \) → \( 64 = 16 + CD^2 \) → \( CD^2 = 64 - 16 = 48 \) → \( CD = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \).
2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCD (угол D = 90°). Мы знаем катет CD = \( 4\sqrt{3} \). Чтобы найти угол B, нам нужен еще один элемент.
3. Вернемся к прямоугольному треугольнику ABC (угол C = 90°). В нем мы знаем катет AC = 8. Нам нужен катет BC.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол ADC = 90°. У нас есть AC (гипотенуза) = 8 и AD (катет) = 4. В этом треугольнике \( \sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AC} \) и \( \cos(\angle CAD) = \frac{AD}{AC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \). Следовательно, \( \angle CAD = 60^{\circ} \).
5. Так как \( \angle CAD \) является частью \( \angle BAC \) прямоугольного треугольника ABC, и \( \angle BAC + \angle ABC = 90^{\circ} \), то \( \angle BAC = 60^{\circ} \).
6. Тогда \( \angle ABC = 90^{\circ} - \angle BAC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Ответ: \( 30^{\circ} \).