Контрольные задания
Вопрос:

4. В прямоугольном треугольнике КРЕ \( \angle P = 90^{\circ}, \angle K = 60^{\circ} \). На катете РЕ отметили точку М такую, что \( \angle KMP = 60^{\circ} \). Найдите РМ, если ЕМ = 16 см.

Фото задания: 4. В прямоугольном треугольнике КРЕ \( \angle P = 90^{\circ}, \angle K = 60^{\circ} \). На катете РЕ отметили точку М…Фото задания

Ответ:

Дано:

Прямоугольный \( \triangle KPE \)

\( \angle P = 90^{\circ} \)

\( \angle K = 60^{\circ} \)

\( M \in PE \)

\( \angle KMP = 60^{\circ} \)

\( EM = 16 \) см

Найти:

\( PM \) — ?

Решение:

  1. Рассмотрим \( \triangle KPE \): \( \angle P = 90^{\circ}, \angle K = 60^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Значит, \( \angle E = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
  2. Рассмотрим \( \triangle KME \): \( \angle KMP = 60^{\circ}, \angle E = 30^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Значит, \( \angle EKM = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ} \).
  3. Таким образом, \( \triangle KME \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( \angle EKM = 90^{\circ} \).
  4. В прямоугольном \( \triangle KME \) катет \( PM \) лежит против угла \( \angle E = 30^{\circ} \). Следовательно, катет \( PM \) равен половине гипотенузы \( KE \).
  5. В прямоугольном \( \triangle KPE \) катет \( PE \) лежит против угла \( \angle K = 60^{\circ} \), а катет \( KE \) — гипотенуза.
  6. Найдем \( PE \) через \( EM \) и \( PM \): \( PE = PM + EM \).
  7. Мы знаем, что \( \angle P = 90^{\circ} \) и \( \angle K = 60^{\circ} \), \( \angle E = 30^{\circ} \).
  8. В \( \triangle KME \) \( \angle KMP = 60^{\circ} \).
  9. Рассмотрим \( \triangle KMP \). \( \angle P = 90^{\circ} \), \( \angle KMP = 60^{\circ} \). Значит, \( \angle MKP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
  10. В \( \triangle KMP \) катет \( PM \) лежит против угла \( \angle MKP = 30^{\circ} \). Следовательно, \( PM = \frac{1}{2} KP \).
  11. В \( \triangle KPE \): \( \tan E = \frac{KP}{PE} \). \( \tan 30^{\circ} = \frac{KP}{PM+EM} \). \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{KP}{PM+16} \).
  12. \( KP = \frac{PM+16}{\sqrt{3}} \).
  13. Также \( KP = 2 PM \).
  14. Приравниваем: \( 2 PM = \frac{PM+16}{\sqrt{3}} \).
  15. \( 2 \sqrt{3} PM = PM + 16 \).
  16. \( 2 \sqrt{3} PM - PM = 16 \).
  17. \( PM (2 \sqrt{3} - 1) = 16 \).
  18. \( PM = \frac{16}{2 \sqrt{3} - 1} \).
  19. \( PM = \frac{16 (2 \sqrt{3} + 1)}{(2 \sqrt{3} - 1)(2 \sqrt{3} + 1)} = \frac{16 (2 \sqrt{3} + 1)}{(2 \sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{16 (2 \sqrt{3} + 1)}{12 - 1} = \frac{16 (2 \sqrt{3} + 1)}{11} \).

Ответ: \( PM = \frac{16 (2 \sqrt{3} + 1)}{11} \) см.