4. В прямоугольном треугольнике ВКС гипотенуза СВ равна 14,4 см, катет ВК равен 7,2 см, КМ – высота. Найдите расстояние от точки М до прямой КС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ВКС, по теореме Пифагора, найдём второй катет КС:

\( \text{ВК}^2 + \text{КС}^2 = \text{СВ}^2 \)

\( (7.2)^2 + \text{КС}^2 = (14.4)^2 \)

\( 51.84 + \text{КС}^2 = 207.36 \)

\( \text{КС}^2 = 207.36 - 51.84 \)

\( \text{КС}^2 = 155.52 \)

\( \text{КС} = \sqrt{155.52} \approx 12.47 \) см.

Площадь треугольника ВКС можно вычислить двумя способами:

1) \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{ВК} \cdot \text{КС} = \frac{1}{2} \cdot 7.2 \cdot \sqrt{155.52} \approx \frac{1}{2} \cdot 7.2 \cdot 12.47 \approx 44.89 \) см².

2) \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{СВ} \cdot \text{КМ} \)

Приравнивая площади, найдём высоту КМ:

\( \frac{1}{2} \cdot 7.2 \cdot \sqrt{155.52} = \frac{1}{2} \cdot 14.4 \cdot \text{КМ} \)

\( 7.2 \cdot \sqrt{155.52} = 14.4 \cdot \text{КМ} \)

\( \text{КМ} = \frac{7.2 \cdot \sqrt{155.52}}{14.4} = \frac{\sqrt{155.52}}{2} \approx \frac{12.47}{2} \approx 6.235 \) см.

В прямоугольном треугольнике КМС, по теореме Пифагора, найдём расстояние от точки М до прямой КС (это катет МС):

\( \text{МС}^2 + \text{КМ}^2 = \text{КС}^2 \)

\( \text{МС}^2 + \left(\frac{\sqrt{155.52}}{2}\right)^2 = 155.52 \)

\( \text{МС}^2 + \frac{155.52}{4} = 155.52 \)

\( \text{МС}^2 + 38.88 = 155.52 \)

\( \text{МС}^2 = 155.52 - 38.88 \)

\( \text{МС}^2 = 116.64 \)

\( \text{МС} = \sqrt{116.64} = 10.8 \) см.

Ответ: 10,8 см.