4. В равнобедр. Δ с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность. найти радиус этой окружности.

Привет! Давай решим эту задачку про равнобедренный треугольник и вписанную окружность. Чтобы найти радиус вписанной окружности, нам понадобится формула, связывающая площадь треугольника, его полупериметр и радиус вписанной окружности.

Что дано:

• Равнобедренный треугольник.
• Основание ($$a$$) = 12 см.
• Периметр ($$P$$) = 32 см.
• В треугольник вписана окружность.

Что найти:

• Радиус ($$r$$) вписанной окружности.

Решение:

Сначала найдем длины боковых сторон равнобедренного треугольника.

1. Найдем длину боковой стороны (b):
Периметр $$P = a + 2b$$.
$$32 = 12 + 2b$$
$$2b = 32 - 12$$
$$2b = 20$$
$$b = 10$$ см. Итак, боковые стороны по 10 см.

Теперь нам нужно найти площадь треугольника. Для равнобедренного треугольника мы можем использовать высоту, опущенную на основание. Эта высота делит основание пополам.

2. Найдем высоту (h) треугольника:
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной основания. По теореме Пифагора:
$$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$$
$$h^2 + (12/2)^2 = 10^2$$
$$h^2 + 6^2 = 10^2$$
$$h^2 + 36 = 100$$
$$h^2 = 100 - 36$$
$$h^2 = 64$$
$$h = \sqrt{64} = 8$$ см.

3. Найдем площадь (S) треугольника:
$$S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$$
$$S = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 6 \times 8 = 48$$ см².

Теперь воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности:

$$r = \frac{S}{p}$$

где $$S$$ — площадь треугольника, а $$p$$ — полупериметр.

4. Найдем полупериметр (p):
$$p = P / 2 = 32 / 2 = 16$$ см.

5. Найдем радиус (r) вписанной окружности:
$$r = \frac{48}{16} = 3$$ см.

Ответ:

Радиус вписанной окружности равен 3 см.