4. В равнобедренном треугольнике ABC медиана BK = 6, боковая сторона BC = 10. Найдите отрезок MN, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

В равнобедренном треугольнике AB = BC = 10. Медиана BK, проведённая к основанию AC, является также высотой, поэтому треугольник BKC прямоугольный.

По теореме Пифагора найдём KC:

KC² = BC² − BK² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, значит KC = 8.

Поскольку BK — медиана, K — середина AC, поэтому AC = 2 · KC = 16.

Отрезок MN соединяет середины двух сторон треугольника, значит по теореме о средней линии MN = AC : 2 = 16 : 2 = 8.

Ответ: 8.