4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины А, равна 7. Найдите длину стороны АС.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, угол B = 120°. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: \( ∠A = ∠C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).

Высота BH, проведённая из вершины B к основанию AC, делит угол B пополам: \( ∠ABH = ∠CBH = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \). В треугольнике ABH \( ∠BAH = 30^\circ \), \( ∠AHB = 90^\circ \).

Теперь рассмотрим высоту, проведённую из вершины А. Назовем ее AK. В условии сказано, что высота, проведённая из вершины А, равна 7. Это высота к стороне BC. Итак, AK = 7.

В прямоугольном треугольнике AKB, \( ∠ABK \) — это угол при вершине B. Однако, нам дан угол \( ∠ABC = 120^\circ \). Высота AK проведена к стороне BC. В треугольнике ABC, \( ∠BAC = ∠BCA = 30^\circ \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AKC. В нем \( ∠ACK = 30^\circ \) и \( ∠AKC = 90^\circ \). Высота AK = 7.

В прямоугольном треугольнике, катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. В треугольнике AKC, катет AK = 7 противолежит углу 30° (\( ∠ACK \)). Следовательно, гипотенуза AC = 2 * AK.

\( AC = 2 \cdot 7 = 14 \).

Ответ: 14.