4. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Решение:

Обозначим данную равнобедренную трапецию как ABCD, где BC — меньшее основание, AD — большее основание. Высота трапеции равна 5. Меньшее основание BC = 7. Угол при основании (например, угол DAB) равен 45°.

Проведем две высоты из вершин B и C к основанию AD. Обозначим точки их пересечения как M и N соответственно. Получим прямоугольник BCNM и два прямоугольных треугольника ABM и CDN.

Так как трапеция равнобедренная, то AM = ND. Также BC = MN = 7.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM:

\[ \angle BAM = 45^{\circ} \]

\[ \angle AMB = 90^{\circ} \]

Следовательно, \( \angle ABM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Треугольник ABM является равнобедренным прямоугольным треугольником, так как у него два угла равны 45°.

Следовательно, AM = BM (высота).

По условию, высота равна 5, значит, AM = 5.

Так как AM = ND, то ND = 5.

Теперь найдем большее основание AD:

\[ AD = AM + MN + ND \]

\[ AD = 5 + 7 + 5 = 17 \]

Ответ: 17.