4). В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Краткая запись:

• Условие: Равнобедренная трапеция
• Один из углов: 60°
• Боковая сторона (b): 8 см
• Меньшее основание (a): 7 см
• Найти: Средняя линия (m) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем углы трапеции. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Если один из углов равен 60°, то это угол при основании. Следовательно, два угла при одном основании равны 60°, а два угла при другом основании равны \( 180° - 60° = 120° \).
2. Шаг 2: Находим большее основание (c). Проведем из вершин меньшего основания перпендикуляры к большему основанию. Эти перпендикуляры отсекут два прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников угол при основании трапеции равен 60°, а гипотенуза (боковая сторона трапеции) равна 8 см.
3. Шаг 3: Вычисляем отрезок, который отсекается высотой на большем основании. В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу 60°, равен половине гипотенузы, умноженной на \( \text{cos}(60°) \), или, что проще, это катет, противолежащий углу 30° (так как \( 90° - 60° = 30° \)). Поэтому этот катет равен \( 8 \text{ см} \times \text{cos}(60°) = 8 \text{ см} \times \frac{1}{2} = 4 \) см.
4. Шаг 4: Находим большее основание. Большее основание состоит из меньшего основания и двух отрезков, равных 4 см. Таким образом, \( c = a + 2 \times 4 \text{ см} = 7 \text{ см} + 8 \text{ см} = 15 \) см.
5. Шаг 5: Вычисляем среднюю линию трапеции. Средняя линия равна полусумме оснований: \( m = \frac{a+c}{2} \).
   \( m = \frac{7 \text{ см} + 15 \text{ см}}{2} = \frac{22 \text{ см}}{2} = 11 \) см.

Ответ: 11 см