4. В равнобедренной трапеции с острым углом 60° диагональ перпендикулярна боковой стороне, равной 17 см. Найдите большее основание трапеции.

Обозначим большее основание через \(a\), меньшее — через \(b\), а боковую сторону — через \(l=17\) см. Пусть острые углы прилегают к большему основанию.

1. Горизонтальная проекция каждой боковой стороны на основание равна \(l\cos 60^\circ=\frac{17}{2}\). Поэтому разность оснований равна \(a-b=2\cdot\frac{17}{2}=17\).

2. Высота трапеции равна \(h=l\sin 60^\circ=\frac{17\sqrt3}{2}\).

3. Рассмотрим диагональ, перпендикулярную боковой стороне. В координатах можно задать боковой вектор как \((\frac{17}{2},h)\), а диагональный — как \((\frac{a+b}{2},h)\). Перпендикулярность означает нулевое скалярное произведение:

\(\frac{17}{2}\cdot\frac{a+b}{2}+h^2=0\) для направления диагонали, идущей к противоположной вершине при соответствующем выборе знаков; эквивалентно по геометрии горизонтальная проекция этой диагонали равна \(h\tan 60^\circ=\frac{51}{2}\).

Эта проекция составляет \(a-\frac{17}{2}\), следовательно, \(a-\frac{17}{2}=\frac{51}{2}\), откуда \(a=34\) см.

Ответ: 34 см.