4. В трапеции основания равны 6 и 10. Боковые стороны пересечены отрезком, соединяющим их середины; диагональ пересекает этот отрезок в точке M. Найдите PM и MO.

Обозначим верхнее основание через \(AB=6\), нижнее — через \(CD=10\), а середины боковых сторон — через \(P\) и \(Q\). Тогда \(PQ\) — средняя линия трапеции, поэтому

\(PQ=\dfrac{AB+CD}{2}=\dfrac{6+10}{2}=8\).

Диагональ \(DB\) пересекает среднюю линию на половине своей длины: в координатном представлении средняя линия находится на половине высоты, и точка пересечения имеет горизонтальное смещение от P, равное половине верхнего основания. Поэтому \(PM=\dfrac{AB}{2}=3\), а \(MO=PQ-PM=8-3=5\).

Ответ: \(PM=3\), \(MO=5\).