4. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°, отрезок BM — биссектриса треугольника. Найдите катет AC, если BM = 6 см.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \angle C = 90° \)

\( \angle A = 30° \)

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \( \angle B = 180° - 90° - 30° = 60° \).

BM — биссектриса угла B, значит, она делит угол B пополам:

\( \angle ABM = \angle MBC = \frac{60°}{2} = 30° \).

Рассмотрим треугольник ABM:

\( \angle A = 30° \)

\( \angle ABM = 30° \)

Так как \( \angle A = \angle ABM \), треугольник ABM равнобедренный с основанием AM. Следовательно, \( AB = BM \).

По условию \( BM = 6 \) см, значит, \( AB = 6 \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Мы знаем гипотенузу AB и угол A.

Катет AC прилежит к углу A. Используем косинус:

\( \cos(A) = \frac{AC}{AB} \)

\( \cos(30°) = \frac{AC}{6} \)

\( AC = 6 \cdot \cos(30°) \)

\( AC = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( AC = 3\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( 3\sqrt{3} \) см.