4. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 15 и BC = BM. Найдите AH.

Поскольку BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM = MC = 15 : 2 = 7,5.

Обозначим MH = x. По рисунку точки расположены в порядке A, M, H, C, значит AH = 7,5 + x, а HC = 7,5 − x.

Треугольники BMH и BHC прямоугольные. Из условия BM = BC:

BM² = BH² + MH², а BC² = BH² + HC².

Следовательно, MH² = HC². Так как MH и HC — длины, MH = HC, откуда x = 7,5 − x и x = 3,75.

Тогда AH = AM + MH = 7,5 + 3,75 = 11,25.

Ответ: AH = 11,25.