4. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 2 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M — середина AC. Поэтому AM = MC = 2 : 2 = 1.

Рассмотрим прямоугольные треугольники BHC и BHM. У них BH — общий катет, а BC = BM — равные гипотенузы. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету, поэтому HC = HM.

По рисунку точки расположены в порядке A, M, H, C, значит MC = MH + HC = 2 · MH. Отсюда MH = 1.

Тогда AH = AM + MH = 1 + 1 = 2.

Ответ: AH = 2.