4. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, ∠ACB = 75°. На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка AY, если AX = 24.

Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный, поэтому углы при основании равны: ∠BAC = ∠ACB = 75°. Тогда ∠ABC = 30°.

Поскольку X лежит на BC, ∠ABX = ∠ABC = 30°. В треугольнике ABX стороны AX и BX равны, значит, углы при основании равны: ∠BAX = ∠ABX = 30°.

По условию ∠YAX = ∠BAX = 30°, поэтому ∠BAY = 60°. Точка Y лежит на BC, следовательно, ∠ABY = 30°. Тогда ∠AYB = 180° − 60° − 30° = 90°.

В прямоугольном треугольнике ABY гипотенуза AB равна 24√3: в треугольнике ABX с углами 30°, 30° и 120° по теореме синусов AB = 24 · sin 120° / sin 30° = 24√3. Сторона AY лежит напротив угла 30°, поэтому AY = AB / 2 = 12√3.

Ответ: 12√3.