4. * В треугольнике ABC точка B₁ — середина AC, точка A₁ лежит на стороне BC так, что BA₁ : A₁C = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина BB₁ лежит на прямой AA₁.

Обозначим \(\vec{AB}=\vec u\), \(\vec{AC}=\vec v\). Пусть M — середина отрезка BB₁.

1. Так как B₁ — середина AC, \(\vec{AB_1}=\frac{1}{2}\vec v\).
2. Из отношения \(BA_1:A_1C=1:2\) следует, что \(\vec{BA_1}=\frac{1}{3}\vec{BC}=\frac{1}{3}(\vec v-\vec u)\). Тогда \(\vec{AA_1}=\vec{AB}+\vec{BA_1}=\frac{2}{3}\vec u+\frac{1}{3}\vec v\).
3. Поскольку M — середина BB₁, \(\vec{AM}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AB_1})=\frac{1}{2}(\vec u+\frac{1}{2}\vec v)=\frac{1}{2}\vec u+\frac{1}{4}\vec v=\frac{3}{4}\vec{AA_1}\).

Вектор \(\vec{AM}\) пропорционален \(\vec{AA_1}\), следовательно, точки A, M и A₁ лежат на одной прямой. Значит, середина BB₁ лежит на прямой AA₁.