4*. В треугольнике ABC точка O — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\overrightarrow{AO}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AC}\).

Обозначим через M середину стороны BC. Тогда O лежит на медиане AM и делит её в отношении AO:OM = 2:1, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\).

Так как M — середина BC, вектор медианы равен полусумме векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\): \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b)\).

Следовательно, \(\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\vec a+\vec b)=\frac{1}{3}(\vec a+\vec b)\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}(\vec a+\vec b)\).