4) В треугольнике ABC угол B равен 60°, AC = 28, AB + BC = 20. Найти стороны треугольника.

Обозначим AB = x, BC = y. Тогда x+y=20.

По теореме косинусов для угла B:

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos 60^\circ\).

Подставим данные:

\(28^2=x^2+y^2-xy\).

Но для любых положительных \(x\) и \(y\), при \(x+y=20\), выполняется:

\(x^2+y^2-xy=(x+y)^2-3xy<(x+y)^2=400\).

Следовательно, \(AC^2<400\), то есть \(AC<20\). Кроме того, это сразу следует из неравенства треугольника: \(AB+BC>AC\), а по условию \(20<28\).

Ответ: такого треугольника не существует, так как нарушено неравенство треугольника.