4. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinA = 2/3, равен 4 см. Найдите катет АС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) с \( \angle C = 90^{\circ} \) имеем:

\( \sin A = \frac{BC}{AB} \), где \( BC \) — противолежащий катет, \( AB \) — гипотенуза.

Нам дано \( \sin A = \frac{2}{3} \) и \( BC = 4 \) см.

Подставляем известные значения в формулу:

\[ \frac{2}{3} = \frac{4}{AB} \]

Найдём гипотенузу \( AB \):

\[ AB = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6 \] см.

Теперь используем теорему Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

\[ 6^2 = AC^2 + 4^2 \]

\[ 36 = AC^2 + 16 \]

\[ AC^2 = 36 - 16 = 20 \]

\[ AC = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \] см.

Ответ: Катет \( AC = 2\sqrt{5} \) см.