4. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете ВС отметили точку К такую, что ∠AKC = 60°. Найдите отрезок СК, если ВК = 12 см.

Решение:

1. Найдем углы треугольника ABC:

\( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 60^\circ \).

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

\( \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

2. Рассмотрим треугольник ACK:

\( \angle C = 90^\circ \), \( \angle AKC = 60^\circ \).

Тогда \( \angle CAK = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

3. Рассмотрим треугольник ABC:

\( \angle B = 30^\circ \), \( \angle C = 90^\circ \).

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, \( AC = \frac{1}{2} AB \).

Также, \( BC = AC \cdot \text{ctg}(60^\circ) = AC \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \) или \( BC = AB \cdot \sin(60^\circ) = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).

4. Рассмотрим треугольник ACK:

\( \angle C = 90^\circ \), \( \angle AKC = 60^\circ \).

В прямоугольном треугольнике ACK:

\( CK = AC \cdot \text{ctg}(60^\circ) = AC \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \).

5. Мы знаем, что \( \angle CAK = 30^\circ \) и \( \angle BAC = 60^\circ \).

Следовательно, \( \angle KAB = \angle BAC - \angle CAK = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ \).

6. Рассмотрим треугольник ABK:

\( \angle B = 30^\circ \) и \( \angle KAB = 30^\circ \).

Значит, треугольник ABK равнобедренный с основанием BK. Отсюда \( BK = AK \).

\( BK = 12 \) см, следовательно, \( AK = 12 \) см.

7. Вернемся к треугольнику ACK:

\( \angle C = 90^\circ \), \( \angle AKC = 60^\circ \), \( AK = 12 \) см.

Мы знаем, что \( CK = AK \cdot \cos(60^\circ) \) - это неверно. В прямоугольном треугольнике ACK:

\( CK = AK \cdot \sin(\angle CAK) = AK \cdot \sin(30^\circ) = 12 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см} \).

Ответ: 6 см.