4. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C = 71° и ВМ = AM = MC.

Решение:

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Дано: \( \angle C = 71^{\circ} \) и \( BM = AM = MC \).

Из условия \( BM = MC \) следует, что треугольник ВМС равнобедренный. Следовательно, \( \angle MBC = \angle C = 71^{\circ} \).

Из условия \( BM = AM \) следует, что треугольник АВМ равнобедренный. Значит, \( \angle BAM = \angle ABM \).

Сумма углов в треугольнике ВМС равна \( 180^{\circ} \): \( \angle MBC + \angle BMA + \angle C = 180^{\circ} \).

\( 71^{\circ} + \angle BMA + 71^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle BMA + 142^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle BMA = 180^{\circ} - 142^{\circ} = 38^{\circ} \).

Углы \( \angle AMB \) и \( \angle BMA \) — смежные, их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle BMA = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник АВМ. Сумма углов в нем равна \( 180^{\circ} \): \( \angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^{\circ} \).

Так как \( \angle BAM = \angle ABM \) (треугольник АВМ равнобедренный), то:

\( 2 \angle BAM + 142^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( 2 \angle BAM = 180^{\circ} - 142^{\circ} = 38^{\circ} \).

\( \angle BAM = \frac{38^{\circ}}{2} = 19^{\circ} \).

Таким образом, \( \angle A = \angle BAM = 19^{\circ} \).

Ответ: \( 19^{\circ} \).