4. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Решение:

Дано: \( ∣ A = 40^\circ \), \( ∣ C = 60^\circ \).

1. Найдем угол B:
   Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
   \(∣ B = 180^\circ - (∣ A + ∣ C) = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).
2. Найдем угол ABD (половина угла B, так как BD - биссектриса):
   \(∣ ABD = ∣ B / 2 = 80^\circ / 2 = 40^\circ\).
3. Найдем угол ABH (в прямоугольном треугольнике ABH):
   В треугольнике ABH \(∣ AHB = 90^\circ\) (так как BH - высота).
   \(∣ ABH = 180^\circ - 90^\circ - ∣ A = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).
4. Найдем угол HBD (угол между высотой BH и биссектрисой BD):
   \(∣ HBD = |∣ ABH - ∣ ABD| = |50^\circ - 40^\circ| = 10^\circ\).

Ответ: Угол между высотой BH и биссектрисой BD равен 10°.