4. В треугольнике KSP: ∠K = 60°, ∠P = 45°, SP = 12. Найдите x = KP и y = KS.

Сначала найдём третий угол: \(\angle S=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ\).

По теореме синусов:

\(\dfrac{x}{\sin75^\circ}=\dfrac{12}{\sin60^\circ}\), поэтому \(x=\dfrac{12\sin75^\circ}{\sin60^\circ}=6\sqrt{2}+2\sqrt{6}\).

Аналогично, \(\dfrac{y}{\sin45^\circ}=\dfrac{12}{\sin60^\circ}\), поэтому \(y=\dfrac{12\sin45^\circ}{\sin60^\circ}=4\sqrt{6}\).

Ответ: \(x=6\sqrt{2}+2\sqrt{6}\), \(y=4\sqrt{6}\).