№ 4. В участке цепи, схема которой изображена на рисунке, все резисторы одинаковы. В начальный момент ключ разомкнут. Участок подключён к источнику постоянного напряжения. a) Увеличится или уменьшится сопротивление всего участка цепи, если замкнуть ключ? б) Во сколько раз изменится мощность тока во всём участке цепи, если замкнуть ключ? в) Во сколько раз изменится мощность тока в резисторе 1, если замкнуть ключ?

Решение:

Обозначим сопротивление каждого резистора как R. Все резисторы одинаковы.

1. Когда ключ разомкнут:

• Резисторы R2 и R4 соединены последовательно. Их общее сопротивление: R₂₄ = R₂ + R₄ = R + R = 2R.
• Резисторы R₂₄ и R₃ соединены параллельно. Их общее сопротивление: R₂₃₄ = (R₂₄ * R₃) / (R₂₄ + R₃) = (2R * R) / (2R + R) = 2R² / 3R = 2R/3.
• Резистор R₁ соединен последовательно с параллельным соединением R₂₃₄. Общее сопротивление цепи при разомкнутом ключе: R_{разомкнут} = R₁ + R₂₃₄ = R + 2R/3 = 5R/3.

2. Когда ключ замкнут:

• Резистор R₂ теперь закорочен ключом, его сопротивление становится равным 0.
• Резисторы R₃ и R₄ соединены последовательно. Их общее сопротивление: R₃₄ = R₃ + R₄ = R + R = 2R.
• Резистор R₁ соединен последовательно с параллельным соединением R₃₄ и R₂ (который закорочен). Поскольку R₂ закорочен, он не влияет на цепь, ток пойдет через него, минуя R₃ и R₄. Это означает, что R₃ и R₄ будут обойдены.
• В цепи остается только резистор R₁. Общее сопротивление цепи при замкнутом ключе: R_{замкнут} = R₁.

а) Сопротивление всего участка цепи:

• R_{разомкнут} = 5R/3
• R_{замкнут} = R
• Так как 5R/3 > R, то сопротивление уменьшится.

б) Мощность тока во всём участке цепи:

• Мощность тока определяется формулой P = U²/R, где U — напряжение источника (оно постоянно).
• P_{разомкнут} = U²/R_{разомкнут} = U²/(5R/3) = 3U²/5R
• P_{замкнут} = U²/R_{замкнут} = U²/R
• Чтобы найти, во сколько раз изменится мощность, разделим P_{замкнут} на P_{разомкнут}: (U²/R) / (3U²/5R) = (U²/R) * (5R/3U²) = 5/3.
• Мощность увеличится в 5/3 раза.

в) Мощность тока в резисторе 1:

• Мощность тока в резисторе P₁ = I₁² * R₁, где I₁ — ток через резистор R₁.
• Поскольку R₁ — единственный резистор при замкнутом ключе, ток через него I₁_{замкнут} = U / R_{замкнут} = U/R.
• При разомкнутом ключе ток через R₁ равен общему току: I₁_{разомкнут} = U / R_{разомкнут} = U / (5R/3) = 3U/5R.
• P₁_{разомкнут} = (3U/5R)² * R = 9U²/25R
• P₁_{замкнут} = (U/R)² * R = U²/R
• Чтобы найти, во сколько раз изменится мощность, разделим P₁_{замкнут} на P₁_{разомкнут}: (U²/R) / (9U²/25R) = (U²/R) * (25R/9U²) = 25/9.
• Мощность в резисторе 1 увеличится в 25/9 раза.

Ответ:

а) Сопротивление уменьшится.

б) Мощность тока во всём участке цепи увеличится в 5/3 раза.

в) Мощность тока в резисторе 1 увеличится в 25/9 раза.