4. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Рассмотрим окружности, описанные около треугольников ABD и ACD. В обоих треугольниках сторона AD противоположна равным углам: ∠ABD = ∠ACD. По теореме синусов радиусы описанных окружностей равны, поскольку для каждой окружности диаметр равен AD / sin(∠ABD) = AD / sin(∠ACD).

Обе окружности проходят через A и D. Их центры лежат на серединном перпендикуляре к AD; равные радиусы означают, что окружности совпадают. Значит, точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

В этой окружности вписанные углы DAC и DBC опираются на одну и ту же хорду DC. Поэтому они равны.