4 вариант 1. Найти объем и площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1, если длина бокового ребра равна 7см, а диагональ боковой грани ВС₁=25см, в основании лежит прямоугольник, одна из сторон которого АВ=8см. 2. Найти объем правильной треугольной пирамиды, если все ребра равны 9см. 3. Найдите объем усеченной пирамиды площадями оснований 1 см² и 81 см² и высотой 4см. 4. Основание призмы прямоугольный треугольник со катетами 12см и, 5см. Найдите объем призмы, если ее высота равна большему катету основания.

Решение задач:

1. Параллелепипед
   • Дано:
   • Высота (боковое ребро) h = 7 см
   • Диагональ боковой грани d = 25 см
   • Одна сторона основания a = 8 см
   • Найти:
   • Объем (V)
   • Площадь боковой поверхности (Sбок)
   • Решение:
   • Найдем вторую сторону основания (b) из прямоугольного треугольника, образованного стороной основания (a), второй стороной основания (b) и диагональю боковой грани (d):
   • d² = a² + b²
   • 25² = 8² + b²
   • 625 = 64 + b²
   • b² = 625 - 64 = 561
   • b = √561 см
   • Объем параллелепипеда:
   • V = a × b × h
   • V = 8 × √561 × 7 = 56√561 см³
   • Площадь боковой поверхности:
   • Sбок = P × h, где P - периметр основания.
   • P = 2(a + b) = 2(8 + √561) см
   • Sбок = 2(8 + √561) × 7 = 14(8 + √561) = 112 + 14√561 см²
2. Правильная треугольная пирамида
   • Дано:
   • Все ребра равны a = 9 см
   • Найти:
   • Объем (V)
   • Решение:
   • Площадь правильного треугольника в основании:
   • Sосн = \(\frac{a²√3}{4}\) = \(\frac{9²√3}{4}\) = \(\frac{81√3}{4}\) см²
   • Высоту пирамиды найдем из прямоугольного треугольника, где гипотенуза — боковое ребро (a), один катет — высота (H), а второй катет — радиус описанной окружности вокруг основания (R).
   • Радиус описанной окружности для правильного треугольника:
   • R = \(\frac{a}{√3}\) = \(\frac{9}{√3}\) = 3√3 см
   • Высота пирамиды:
   • H² = a² - R² = 9² - (3√3)² = 81 - (9 × 3) = 81 - 27 = 54
   • H = √54 = 3√6 см
   • Объем пирамиды:
   • V = \(\frac{1}{3}\) Sосн × H = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{81√3}{4}\) × 3√6 = \(\frac{81√18}{4}\) = \(\frac{81 × 3√2}{4}\) = \(\frac{243√2}{4}\) см³
3. Усеченная пирамида
   • Дано:
   • Площадь большего основания S₁ = 81 см²
   • Площадь меньшего основания S₂ = 1 см²
   • Высота h = 4 см
   • Найти:
   • Объем (V)
   • Решение:
   • Объем усеченной пирамиды:
   • V = \(\frac{1}{3}\) h (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂))
   • V = \(\frac{1}{3}\) × 4 × (81 + 1 + √(81 × 1))
   • V = \(\frac{4}{3}\) (82 + √81) = \(\frac{4}{3}\) (82 + 9) = \(\frac{4}{3}\) × 91 = \(\frac{364}{3}\) см³
4. Призма
   • Дано:
   • Основание — прямоугольный треугольник
   • Катеты: a = 12 см, b = 5 см
   • Высота призмы H = 12 см (больший катет основания)
   • Найти:
   • Объем (V)
   • Решение:
   • Площадь прямоугольного треугольника в основании:
   • Sосн = \(\frac{1}{2}\) × a × b = \(\frac{1}{2}\) × 12 × 5 = 30 см²
   • Объем призмы:
   • V = Sосн × H = 30 × 12 = 360 см³

Ответ:

• 1. Объем: 56√561 см³, Площадь боковой поверхности: 112 + 14√561 см²
• 2. Объем: \(\frac{243√2}{4}\) см³
• 3. Объем: \(\frac{364}{3}\) см³
• 4. Объем: 360 см³