4. Внутри квадрата KBCM выбрана точка P так, что треугольник KPM равносторонний. Найдите угол KBP.

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда KM = a, а в равностороннем треугольнике KPM высота из P делит KM пополам. Обозначим середину KM через O. Тогда OM = a/2 и PO = √3a/2.

Проведём мысленно координаты: K(0; 0), B(a; 0), M(0; a). Так как P находится внутри квадрата, P=(√3a/2; a/2). Тогда от B до P по горизонтали — a(1 − √3/2), а по вертикали — a/2.

Угол KBP измеряется от луча BK, направленного влево. Поэтому его тангенс равен

tan ∠KBP = (a/2) / (a(1 − √3/2)) = 1/(2 − √3) = 2 + √3.

Поскольку tan 75° = 2 + √3, получаем ∠KBP = 75°.

Ответ: 75°.