4. Все клетки таблицы 4 × 5 раскрашены в белый цвет. Закрасьте ровно 10 клеток таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце таблицы оказалась хотя бы одна закрашенная клетка, причём в каждой строке и в каждом столбце их было чётное число.

В таблице 4 × 5 нужно закрасить 10 клеток. В каждой из четырёх строк закрасим по 2 клетки: всего получится 4 × 2 = 8 клеток. В одном столбце закрасим ещё 2 клетки. Тогда в этом столбце будет 4 закрашенные клетки, а в остальных столбцах число закрашенных клеток должно быть чётным и ненулевым — для этого распределим оставшиеся клетки так, чтобы занять все столбцы.

Например, можно закрасить клетки в строках так: 1-я строка — столбцы 1 и 2; 2-я — 2 и 3; 3-я — 3 и 4; 4-я — 4 и 5. Получится 8 клеток; чтобы довести число до 10, добавим клетки в столбцах 1 и 5, но тогда в этих строках число станет нечётным. Поэтому при данном требовании решения быть не может: сумма чётных количеств закрашенных клеток по строкам должна равняться 10, однако условия столбцов также требуют чётных ненулевых количеств, и в пяти столбцах минимум 2 × 5 = 10 клеток. Равенство заставило бы иметь ровно по две клетки в каждом столбце, что дало бы 10 клеток, но тогда сумма по строкам должна быть чётной и ненулевой в каждой из четырёх строк; это возможно, например, распределением по 2 или 4 клетки на строку. Однако сумма строк 10 нельзя представить как сумму четырёх положительных чётных чисел: такая сумма не обязана быть кратна 4, но возможна только если, например, 2+2+2+4=10. Следовательно, построение возможно.

Пример: закрасить в 1-м столбце строки 1 и 2; во 2-м — строки 1 и 2; в 3-м — строки 1 и 3; в 4-м — строки 3 и 4; в 5-м — строки 3 и 4. Тогда в каждой строке и каждом столбце по 2 клетки, всего 10.

Ответ: закрасьте клетки (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (1,3), (3,3), (3,4), (4,4), (3,5), (4,5), где первая координата — номер строки, вторая — номер столбца.