4) Вычислить линейную комбинацию матриц. 1) 3A-2B, A=\(\begin{pmatrix}\) 4 & -1 & -2 \\ 0 & -3 & 5 \\ 2 & 0 & -4 \(\end{pmatrix}\), B=\(\begin{pmatrix}\) -5 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 3 & 0 & 4 \(\end{pmatrix}\); 2) 2A+3B-C, A=\(\begin{pmatrix}\) 4 & -1 & -2 \\ 0 & -3 & 5 \\ 2 & 0 & -4 \(\end{pmatrix}\), B=\(\begin{pmatrix}\) -5 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 3 & 0 & 4 \(\end{pmatrix}\), C=\(\begin{pmatrix}\) -1 & -5 & -3 \\ 0 & -7 & 9 \(\end{pmatrix}\)

Решение:

1) 3A - 2B

Сначала умножим матрицы A и B на скаляры 3 и 2 соответственно:

\( 3A = 3 \cdot \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \\ 0 & -3 & 5 \\ 2 & 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 4 & 3 \cdot (-1) & 3 \cdot (-2) \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot (-3) & 3 \cdot 5 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -3 & -6 \\ 0 & -9 & 15 \\ 6 & 0 & -12 \end{pmatrix} \)

\( 2B = 2 \cdot \begin{pmatrix} -5 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-5) & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot (-1) & 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 4 & 6 \\ 0 & -2 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{pmatrix} \)

Теперь вычтем 2B из 3A:

\( 3A - 2B = \begin{pmatrix} 12 & -3 & -6 \\ 0 & -9 & 15 \\ 6 & 0 & -12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -10 & 4 & 6 \\ 0 & -2 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 - (-10) & -3 - 4 & -6 - 6 \\ 0 - 0 & -9 - (-2) & 15 - (-4) \\ 6 - 6 & 0 - 0 & -12 - 8 \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} 12 + 10 & -7 & -12 \\ 0 & -9 + 2 & 15 + 4 \\ 0 & 0 & -20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 & -7 & -12 \\ 0 & -7 & 19 \\ 0 & 0 & -20 \end{pmatrix} \)

2) 2A + 3B - C

Сначала умножим матрицы A, B и C на скаляры 2, 3 и 1 соответственно:

\( 2A = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \\ 0 & -3 & 5 \\ 2 & 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -2 & -4 \\ 0 & -6 & 10 \\ 4 & 0 & -8 \end{pmatrix} \)

\( 3B = 3 \cdot \begin{pmatrix} -5 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 & 6 & 9 \\ 0 & -3 & -6 \\ 9 & 0 & 12 \end{pmatrix} \)

\( C = \begin{pmatrix} -1 & -5 & -3 \\ 0 & -7 & 9 \end{pmatrix} \)

Теперь сложим 2A и 3B, а затем вычтем C:

\( 2A + 3B = \begin{pmatrix} 8 & -2 & -4 \\ 0 & -6 & 10 \\ 4 & 0 & -8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -15 & 6 & 9 \\ 0 & -3 & -6 \\ 9 & 0 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 + (-15) & -2 + 6 & -4 + 9 \\ 0 + 0 & -6 + (-3) & 10 + (-6) \\ 4 + 9 & 0 + 0 & -8 + 12 \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} -7 & 4 & 5 \\ 0 & -9 & 4 \\ 13 & 0 & 4 \end{pmatrix} \)

Теперь вычтем C:

\( (2A + 3B) - C = \begin{pmatrix} -7 & 4 & 5 \\ 0 & -9 & 4 \\ 13 & 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & -5 & -3 \\ 0 & -7 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 - (-1) & 4 - (-5) & 5 - (-3) \\ 0 - 0 & -9 - (-7) & 4 - 9 \\ 13 & 0 & 4 \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} -7 + 1 & 4 + 5 & 5 + 3 \\ 0 & -9 + 7 & -5 \\ 13 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 9 & 8 \\ 0 & -2 & -5 \\ 13 & 0 & 4 \end{pmatrix} \)

Ответ:

1) \( \begin{pmatrix} 22 & -7 & -12 \\ 0 & -7 & 19 \\ 0 & 0 & -20 \end{pmatrix} \)

2) \( \begin{pmatrix} -6 & 9 & 8 \\ 0 & -2 & -5 \\ 13 & 0 & 4 \end{pmatrix} \)