4. Вычислить определенный интеграл ∫(2−x)dx 0 2

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \( \int_{0}^{2} (2-x)dx \) найдем первообразную функции \( f(x) = 2-x \).

Первообразная \( F(x) \) находится по правилам интегрирования:

• Интеграл от константы \( c \) есть \( cx \).
• Интеграл от \( x^n \) есть \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \).

Таким образом, первообразная для \( 2 \) это \( 2x \), а для \( -x \) это \( -\frac{x^2}{2} \).

Следовательно, \( F(x) = 2x - \frac{x^2}{2} \).

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) \)

Подставим пределы интегрирования \( a=0 \) и \( b=2 \):

\[ \int_{0}^{2} (2-x)dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left( 2(2) - \frac{2^2}{2} \right) - \left( 2(0) - \frac{0^2}{2} \right) \]

\[ = \left( 4 - \frac{4}{2} \right) - (0 - 0) \]

\[ = (4 - 2) - 0 \]

\[ = 2 \]

Ответ: 2