4. Вычислить S y = 4x - x^2 и осьох

Привет! Чтобы вычислить площадь S, ограниченную функцией y = 4x - x² и осью Ox, нам нужно сначала найти точки пересечения этой параболы с осью Ox. Это произойдет, когда y = 0.

Итак, решаем уравнение:

\[ 4x - x^2 = 0 \]

Выносим x за скобки:

\[ x(4 - x) = 0 \]

Отсюда получаем два корня:

• \[ x_1 = 0 \]
• \[ 4 - x = 0 \] => \[ x_2 = 4 \]

Теперь мы знаем, что парабола пересекает ось Ox в точках x = 0 и x = 4. Эти значения будут пределами интегрирования.

Парабола y = 4x - x² имеет ветви, направленные вниз (коэффициент при x² отрицательный). Это значит, что между корнями (от 0 до 4) функция будет принимать положительные значения, то есть площадь будет находиться над осью Ox.

Площадь S вычисляется с помощью определенного интеграла:

\[ S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx \]

Найдем первообразную для функции 4x - x²:

• Первообразная для 4x это \[ \frac{4x^2}{2} = 2x^2 \]
• Первообразная для -x² это \[ -\frac{x^3}{3} \]

Таким образом, первообразная равна \(\boxed\){\( 2x^2 - \frac{x^3}{3} \)}.

Теперь вычислим определенный интеграл, подставив верхний и нижний пределы:

\[ S = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} \]

Подставляем верхний предел (x = 4):

\[ 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} = 2(16) - \frac{64}{3} = 32 - \frac{64}{3} \]

Подставляем нижний предел (x = 0):

\[ 2(0)^2 - \frac{(0)^3}{3} = 0 - 0 = 0 \]

Вычитаем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

\[ S = \left( 32 - \frac{64}{3} \right) - 0 = 32 - \frac{64}{3} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ S = \frac{32 \times 3}{3} - \frac{64}{3} = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \]

Ответ: S = \(\frac{32}{3}\)