4. Вычислите: 27⁻⁶ ⋅ 9⁵ ____________ 3⁴

Решение:

Чтобы вычислить значение выражения, приведём все числа к одному основанию (основание 3).

1. Представим 27 как \( 3^3 \) и 9 как \( 3^2 \).
2. Подставим в выражение: \[ \frac{(3^3)^{-6} \cdot (3^2)^5}{3^4} \]
3. Применим правило возведения степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \).
   \[ \frac{3^{3 \times (-6)} \cdot 3^{2 \times 5}}{3^4} = \frac{3^{-18} \cdot 3^{10}}{3^4} \]
4. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
   \[ \frac{3^{-18 + 10}}{3^4} = \frac{3^{-8}}{3^4} \]
5. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
   \[ 3^{-8 - 4} = 3^{-12} \]
6. Представим результат в виде дроби: \( 3^{-12} = \frac{1}{3^{12}} \).

Ответ: \(\frac{1}{3^{12}}\).