4. Вычислите: a) \(\frac{6^{15} · 6^{11}}{6^{24}}\) б) \(\frac{(5^3)^5 · 3^{16}}{9 · 225^7}\)

Решение:

а) \( \frac{6^{15} · 6^{11}}{6^{24}} \)

1. Используем свойство степеней \( a^m · a^n = a^{m+n} \): \( \frac{6^{15+11}}{6^{24}} = \frac{6^{26}}{6^{24}} \)
2. Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 6^{26-24} = 6^2 \)
3. Вычисляем: \( 6^2 = 36 \)

б) \( \frac{(5^3)^5 · 3^{16}}{9 · 225^7} \)

1. Упростим числитель, используя свойство \( (a^m)^n = a^{m · n} \): \( (5^3)^5 = 5^{3 · 5} = 5^{15} \)
2. Представим \( 9 \) и \( 225 \) как степени числа \( 3 \) и \( 5 \): \( 9 = 3^2 \), \( 225 = 15^2 = (3 · 5)^2 = 3^2 · 5^2 \)
3. Подставим в знаменатель: \( 9 · 225^7 = 3^2 · (3^2 · 5^2)^7 = 3^2 · 3^{14} · 5^{14} \)
4. Используем свойство \( a^m · a^n = a^{m+n} \): \( 3^{2+14} · 5^{14} = 3^{16} · 5^{14} \)
5. Теперь исходное выражение выглядит так: \( \frac{5^{15} · 3^{16}}{3^{16} · 5^{14}} \)
6. Сократим \( 3^{16} \): \( \frac{5^{15}}{5^{14}} \)
7. Используем свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 5^{15-14} = 5^1 = 5 \)

Ответ: а) \( 36 \); б) \( 5 \).