4. Вычислите: \(\frac{3^{-9} \cdot 9^{-4}}{27^{-6}}\).

Решение:

Приведём все числа к основанию 3. Заметим, что \( 9 = 3^2 \) и \( 27 = 3^3 \).

Используем свойства степеней \( (a^m)^n = a^{mn} \), \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\[ \frac{3^{-9} \cdot 9^{-4}}{27^{-6}} = \frac{3^{-9} \cdot (3^2)^{-4}}{(3^3)^{-6}} = \frac{3^{-9} \cdot 3^{2 \cdot (-4)}}{3^{3 \cdot (-6)}} = \frac{3^{-9} \cdot 3^{-8}}{3^{-18}} = \frac{3^{-9 + (-8)}}{3^{-18}} = \frac{3^{-17}}{3^{-18}} = 3^{-17 - (-18)} = 3^{-17 + 18} = 3^1 = 3 \]

Ответ: 3.